ریاضیات نسبیتی چیست؟ دکتر سیامک نورالهی

ریاضیات نسبیتی چیست؟

ریاضیات، همانطور که ما می‌شناسیم، مبتنی بر یک سری اصول و بدیهیات (Axioms) است که ما آنها را "حقیقی" و جهان‌شمول می‌دانیم (مثلاً 1 + 1 = 2). اما آیا در جهانی با قوانین فیزیکی متفاوت، ریاضیات نیز می‌تواند متفاوت باشد؟

 

پاسخ کوتاه: بله، کاملاً محتمل است. ریاضیات "کشف" می‌شود یا "اختراع"؟ این یک بحث فلسفی قدیمی است. اگر بپذیریم که ریاضیات زبانی برای توصیف patterns و ساختارهای جهان فیزیکی است با تغییر آن جهان، زبان آن نیز می‌تواند تغییر کند.

 

در اینجا چند سناریو برای چگونگی متفاوت بودن ریاضیات در یک جهان دیگر را بررسی می‌کنیم:

 

---

 

۱. تغییر در اصول و بدیهیات (Axioms)

 

ریاضیات ما بر پایه‌ای از اصولی بنا شده که ما آنها را بدون برهان می‌پذیریم (مثل اصول اقلیدس در هندسه). در جهانی دیگر، ممکن است این اصول متفاوت باشند.

 

· مثال: هندسه‌های نااقلیدسی. برای قرن‌ها فکر می‌کردیم هندسه اقلیدسی تنها هندسه ممکن است (خطوط موازی هیچگاه همدیگر را قطع نمی‌کنند). اما بعدها فهمیدیم در سطح یک کره (مثلاً زمین)، هندسه متفاوت است: خطوط موازی (مانند نصف‌النهارها) می‌توانند همدیگر را قطع کنند. در یک جهان با انحنای فضایی متفاوت، موجودات هوشمند آن جهان ممکن است به جای هندسه اقلیدسی، مستقیماً با هندسه‌های نااقلیدسی کار کنند و آن را "طبیعی" بدانند.

 

۲. تغییر در ابعاد فضا

 

جهان ما سه بعد فضایی دارد. اما فرض کنید جهانی با ۲ بعد فضایی یا ۴ بعد فضایی اصلی وجود داشته باشد.

 

· ریاضیات در یک جهان ۲بعدی: موجودات "مسطح" ممکن است هرگز مفهومی به نام "حجم" را درک نکنند. حسابان و هندسه آنها بسیار ساده‌تر بود و مفاهیمی مانند گره خوردن طناب (که نیاز به بعد سوم دارد) برایشان غیرقابل درک می‌بود.

· ریاضیات در یک جهان ۴بعدی: موجودات این جهان می‌توانند اشکال بسیار پیچیده‌ای را درک و محاسبه کنند که برای ما غیرقابل تصور است. آنالیز برداری، توپولوژی و هندسه آنها به مراتب پیچیده‌تر و غنی‌تر از ما بود.

 

۳. تغییر در منطق پایه (Logic)

 

تمام ریاضیات ما بر پایه منطق کلاسیک (Classical Logic) استوار است، که در آن یک گزاره یا درست است یا نادرست (قاعده طرد ششم). اما سیستم‌های منطقی دیگری نیز وجود دارند:

 

· منطق فازی (Fuzzy Logic): درستی یک گزاره می‌تواند یک مقدار بین ۰ و ۱ باشد (مثلاً "این هوا سرد است" می‌تواند تا حدی درست باشد). در جهانی که پدیده‌ها ذاتاً مبهم و طیفی هستند، ریاضیات ممکن است بر پایه منطق فازی بنا شود.

· منطق چندارزشی (Multi-valued Logic): گزاره‌ها می‌توانند ارزش‌های دیگری beyond "درست" و "نادرست" داشته باشند (مثلاً "ناشناخته" یا "بی‌معنی"). ریاضیات حاصل از چنین منطقی کاملاً با ریاضیات ما متفاوت خواهد بود.

 

۴. تغییر در مفهوم اعداد

 

سیستم اعداد ما (اعداد طبیعی، صحیح، حقیقی، مختلط) تنها یکی از راه‌های ممکن برای جهان است.

 

· سیستم اعداد در مبنای متفاوت: موجوداتی که به جای ۱۰ انگشت، ۸ عضو دارند ممکن است سیستم اعداد در مبنای ۸ را توسعه دهند. این اگرچه از نظر ساختاری معادل سیستم ماست، اما در ظاهر متفاوت است.

· اعداد اول متفاوت: در سیستم اعداد ما، ۲ یک عدد اول است. اما در یک سیستم عددی کاملاً متفاوت، ممکن است مفهوم "عدد اول" اصلاً وجود نداشته باشد یا به شکل دیگری تعریف شود.

· حساب‌های جایگزین: ممکن است عملیات پایه متفاوت باشند. چیزی به نام "جمع" ممکن است به شکل دیگری تعریف شود که برای ما غیرعادی به نظر برسد. مثلاً شاید در آن جهان ۱ ⊕ ۱ برابر ۱ باشد، نه ۲!

 

۵. تغییر در فیزیک بنیادی و در نتیجه ریاضیات

 

ریاضیات و فیزیک عمیقاً در هم تنیده‌اند. اگر قوانین فیزیک متفاوت باشند، ریاضیات مورد نیاز برای توصیف آنها نیز متفاوت خواهد بود.

 

· جهانی گسسته (دیجیتال): اگر فضا و زمان در کوچک‌ترین مقیاس‌ها گسسته و پیکسلی باشند (بر خلاف پیوسته بودن در فیزیک ما)، آنگاه حسابان دیفرانسیل و انتگرال (که بر مفهوم پیوستگی استوار است) ممکن است هرگز به وجود نیاید یا به شکل کاملاً متفاوتی توسعه یابد. ریاضیات چنین جهانی بیشتر شبیه علوم کامپیوتر و نظریه اعداد خواهد بود.

· جهانی قطعی‌نما (Non-Deterministic): اگر علیت به شکل دیگری کار کند یا پدیده‌های کاملاً تصادفی در مقیاس ماکرو باشند، ممکن است ریاضیات آنها بیشتر بر پایه نظریه احتمال و آمار بنا شود تا جبر خطی و تحلیل.

 

---

 

نتیجه‌گیری:

 

ریاضیاتی که ما می‌شناسیم، تا حد زیادی محصول تعامل ذهن انسان با ساختارهای جهان فیزیکی ما است. اگر هر یک از این دو عامل (ذهن یا جهان) تغییر کند، ریاضیات نیز می‌تواند به شکل‌های شگفت‌انگیز، زیبا و غیرقابل تصوری متفاوت باشد.

 

بنابراین، در یک جهان دیگر، ریاضیات می‌تواند بر پایه‌ای کاملاً متفاوت از اصول، منطق، ابعاد و اعداد بنا شده باشد، اما همچنان زبانی قدرتمند و دقیق برای توصیف الگوهای حاکم بر آن جهان خاص خواهد بود. این ایده، مرز بین ریاضیات، فیزیک و فلسفه را به چالش می‌کشد و نشان می‌دهد که "حقیقت" ریاضی ممکن است آنقدرها هم مطلق و جهان‌شمول نباشد که ما فکر می‌کنیم.